\title{Relations Spatiales dans les SIG -- L'essentiel de la Topologie Spatiale}
\author{par Landon Blake, traduit par Marie Silvestre}

\maketitle

\section{Introduction}

Cet article fournit au lecteur une introduction \`a la topologie spatiale. Il se situe dans le prolongement de l'article issu de la parution pr\'ec\'edente du Journal de l'OSGeo qui fournissait une introduction aux relations spatiales dans les SIG. Cet article est destin\'e au lecteur ayant des connaissances de base en SIG et n'aborde pas de concept avanc\'e. Pour en tirer le meilleur parti, le lecteur doit [1] comprendre ce qu'est une {\textquotedblleft}entit\'e{\textquotedblright} dans le contexte des SIG, [2] comprendre que les entit\'es sont habituellement repr\'esent\'ees par des g\'eom\'etries de type vecteur telles que des points, des lignes et des polygones et, [3] avoir des connaissances de base en g\'eom\'etrie et en syst\`eme de coordonn\'ees.

\section{Qu'est-ce que la topologie ?}

Le terme {\textquotedblleft}topologie{\textquotedblright} se d\'efinit de plusieurs fa\c{c}ons. Le \textit{dictionnaire du Random House Webster{\textquotesingle}s College} d\'efinit la topologie comme {\textquotedblleft}l'\'etude math\'ematique des propri\'et\'es des formes g\'eom\'etriques qui restent inchang\'ees apr\`es certaines transformations telles que le pliage et l'\'etirement.{\textquotedblright} \ Si vous vouliez traduire cette d\'efinition en des termes plus simples, vous pourriez dire que la topologie est {\textquotedblleft}l'\'etude des relations entre des formes ou des g\'eom\'etries qui ne changent pas lorsque ces formes ou ces g\'eom\'etries sont sujets \`a une transformation ou une manipulation classique.{\textquotedblright} Dans les SIG, la topologie peut-\^etre consid\'er\'ee comme un type particulier de relation spatiale. C'est une relation spatiale qui ne d\'epend pas des coordonn\'ees g\'eom\'etriques des formes ou des g\'eom\'etries prenant part dans la relation.

Un court exemple va nous aider \`a comprendre cette d\'efinition de la topologie spatiale. Consid\'erez deux segments de lignes qui s'intersectent. Vous pouvez appliquer un certain nombre de transformations \`a chacune des lignes, telle qu'une translation, une rotation, une homoth\'etie ou une d\'eformation, et les lignes vont toujours s'intersecter. Le fait que deux segments de ligne s'intersectent ne change pas si les transformations sont appliqu\'ees aux deux lignes de la m\^eme mani\`ere. Par ailleurs, nous n'avons pas besoin de savoir quoi que ce soit sur les coordonn\'ees g\'eom\'etriques des deux lignes pour comprendre ce type particulier de relation spatiale. Par cons\'equence, l'intersection de deux lignes est une relation topologique.


Ceci est diff\'erent du cas typique de relation spatiale dont nous avons parl\'e dans le premier article sur ce sujet. Par exemple, l'angle int\'erieur form\'e par deux segments de ligne changera si les deux segments sont d\'eform\'es ou \'etir\'es. C'est un exemple de relation spatiale qui n'est pas topologique.

\section{Objet de l'article}
Dans cet article nous traiterons sp\'ecifiquement de la topologie qui existe entre deux entit\'es mod\'elis\'ees par des {\textquotedblleft}g\'eom\'etries vectorielles{\textquotedblright}. Pour les besoins de l'article, nous d\'efinirons les {\textquotedblleft}g\'eom\'etries vectorielles{\textquotedblright} comme des formes pouvant \^etre d\'ecrites par des distances, des angles ou des coordonn\'ees. La forme et la position des entit\'es dans les SIG sont habituellement d\'ecrites par deux dimensions mais peuvent \^etre d\'ecrites par une seule dimension ou trois ou plus. Dans cet article, nous allons nous concentrer sur la topologie qui peut exister entre des objets du monde r\'eel repr\'esent\'es en deux dimensions uniquement. Nous allons seulement parler de deux types de topologie spatiale dans cet article. Le premier type sera l'inclusion et l'adjacence. Le deuxi\`eme type sera la topologie de r\'eseau.

\section{Topologie d'Inclusion \& d'Adjacence}

Le premier type basique de topologie spatiale dont nous allons parler est l'inclusion et l'adjacence. Ce type de topologie consid\`ere deux types similaires de relation spatiale. Le premier est que la g\'eom\'etrie d'une entit\'e peut contenir ou \^etre contenue par une autre. Le deuxi\`eme est que la g\'eom\'etrie d'une entit\'e peut \^etre proche, le long de ou adjacent \`a une autre.

Un exemple va nous aider \`a comprendre la topologie d'inclusion et d'adjacence. Le sch\'ema 001 montre un groupe de polygones qui peuvent \^etre utilis\'es pour repr\'esenter des parcelles dans un SIG. Considerons la topologie d'inclusion et d'adjacence \'evidente dans ce sch\'ema.

\begin{itemize}
	\item {La parcelle 1 est contenue par la parcelle 3.}
	\item {La parcelle 3 contient la parcelle 1.}
	\item {La parcelle 3 est adjacente \`a la parcelle 2.}
	\item {La parcelle 2 est adjacente \`a la parcelle 3.}
	\item {La parcelle 4 n'est pas contenue par, ne contient pas et n'est pas adjacente aux parcelles 1, 2 ou 3.}
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.2]{topical/blake/diagram_001.png}
	\label{fig:blake_001}
\end{figure}

De cet exemple on peut voir que les relations d'inclusion et d'adjacence peuvent \^etre exprim\'ees de mani\`ere bi-directionnelle. Donc si la parcelle 1 est contenue dans la parcelle 3, la parcelle 3 doit n\'ecessairement contenir la parcelle 1.

\section{Topologie de r\'eseau}

Le deuxi\`eme type classique de topologie spatiale qui sera abord\'ee est la topologie de r\'eseau. La topologie de r\'eseau repr\'esente les relations entre segments d'un r\'eseau lin\'eaire ou une collection de segments de ligne. (Il peut s'agir de segments de ligne droite, de segments de ligne courbe ou les deux). Il y a 3 types de relation classique entre des segments de ligne qui sont importants en topologie de r\'eseau.

\begin{enumerate}
	\item {Le point terminal d'un segment de ligne peut connecter un point terminal d'un autre segment de ligne. Cette connection est appel\'ee un n{\oe}ud}
	\item {Un segment de ligne peut intersecter un n{\oe}ud sans se connecter \`a ce n{\oe}ud ou aux segments de ligne qui se connectent sur ce n{\oe}ud. (Cela arrive souvent quand un segment de ligne passe {\textquotedblleft}au-dessus{\textquotedblright} ou {\textquotedblleft}en-dessous{\textquotedblright} d'un n{\oe}ud. Par exemple, une voie de chemin de fer peut passer par-dessus la jonction de deux ruisseaux.)}
	\item {Un segment de ligne peut intersecter un autre segment de ligne.}
	\item {Un segment de ligne peut se terminer sur un point le long d'un segment de ligne. Typiquement, ce point de terminaison est \'egalement repr\'esent\'e par un n{\oe}ud.}
\end{enumerate}

Un exemple va nous aider \`a comprendre la topologie de r\'eseau. Le sch\'ema 002 montre un ensemble de segments de ligne qui peut \^etre utilis\'e pour repr\'esenter un r\'eseau de routes dans un SIG. Le point terminal de chaque segment est repr\'esent\'e par un n{\oe}ud. Chaque n{\oe}ud a \'et\'e num\'erot\'e sur le sch\'ema pour les besoins de notre discussion. Consid\'erons quelques topologies de r\'eseau \'evidentes sur ce sch\'ema.

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.2]{topical/blake/diagram_002.png}
	\label{fig:blake_002}
\end{figure}

\begin{enumerate}
	\item {Le n{\oe}ud \#2 et le n{\oe}ud \#4 connectent des segments de ligne entre eux. Le n{\oe}ud \#3 est connect\'e \`a 3 segments de ligne, alors que les n{\oe}uds \#1, \#5, \#6 et \#9 sont des extr\'emit\'es de segments de ligne et repr\'esente les points de terminaison du r\'eseau.}
	\item {Le segment de ligne entre les n{\oe}uds \#8 et \#9 passe par dessus le segment de ligne joignant les n{\oe}uds \#1 et \#2 mais ne s'y connecte pas.}
	\item {Le segment de ligne joignant les n{\oe}uds \#10 et \#11 se termine sur un point du segment de ligne joignant les n{\oe}uds \#8 et \#9. Ce point est repr\'esent\'e par le n{\oe}ud \#11.}
\end{enumerate}

Les relations dans la topologie de r\'eseau peuvent \^etre exprim\'ees d'une mani\`ere bi-directionnelle, de m\^eme que pour les relations dans la topologie d'inclusion et d'adjacence. Donc si le segment de ligne joignant les n{\oe}uds \#1 et \#2 se connecte au segment de ligne joignant les n{\oe}uds \#2 et \#3 alors le segment de ligne joignant les n{\oe}uds \#2 et \#3 se connecte au segment de ligne joignant les n{\oe}uds \#1 et \#2.

\section{Application pratique de la topologie spatiale}

Quelles sont les applications pratiques de la topologie spatiale dans les SIG ? Comme la plupart des relations spatiales, la topologie peut \^etre utilis\'ee pour l'analyse spatiale. Par exemple, la topologie peut \^etre utilis\'ee pour am\'eliorer grandement la vitesse et l'efficacit\'e des op\'erations et des t\^aches qui sont r\'ealis\'ees en analyse spatiale. Mais cet article va consid\'erer une autre application pratique de la topologie qui permet de l'utiliser dans des situations o\`u les relations spatiales classiques ne font pas ce qu'on attend d'elles.

Les relations spatiales peuvent \'egalement servir d'outil pour s'assurer de la qualit\'e des donn\'ees. Cela est r\'ealis\'e en assignant une contrainte ou une v\'erification sur un unique aspect de la relation spatiale entre deux g\'eom\'etries d'entit\'e. La topologie spatiale nous permet de le faire d'une mani\`ere particuli\`ere. Elle peut \^etre utilis\'ee pour v\'erifier que les g\'eom\'etries de deux ou plusieurs entit\'es prenant part dans une relation spatiale d'une mani\`ere qui ne va pas \`a l'encontre des r\`egles ou des restrictions \'edict\'ees pour ce type de relation.

Consid\'erons quelques exemples.

Consid\'erons la topologie d'inclusion et d'adjacence \'evidente du sch\'ema 001. Dans ce sch\'ema, on voit des parcelles de territoire ou des propri\'et\'es repr\'esent\'ees par des polygones en deux dimensions. Nous avons discut\'e de comment certains polygones peuvent contenir d'autres polygones et comment ils peuvent \'egalement \^etre adjacents ou \`a c\^ot\'e d'autres polygones. En mod\'elisant des parcelles de territoire, il est utile de d\'efinir quelques r\`egles basiques qui gouvernent la mani\`ere dont les polygones qui repr\'esentent des parcelles peuvent \^etre li\'es en ce qui concerne l'inclusion et l'adjacence. Typiquement, nous ne voulons pas que des parcelles adjacentes se recouvrent ou avoir des trous entre des parcelles adjacentes. C'est la r\`egle que nous pouvons cr\'eer et v\'erifier en utilisant la topologie spatiale.

Nous souhaitons \'egalement \'etablir des r\`egles \`a propos du nombre de parcelles qui peuvent \^etre incluses dans chaque districts. (Dans notre cas le district est \'egalement repr\'esent\'e par un polygone en deux dimensions). Comme nous parlons d'inclusion, nous pouvons cr\'eer une r\`egle et la v\'erifier en utilisant la topologie d'inclusion et d'adjacence.

Qu'en est-il de la topologie de r\'eseau ? Comment peut-elle \^etre utilis\'ee pour v\'erifier la qualit\'e des donn\'ees dans un SIG ? Consid\'erons pour un moment un r\'eseau de canalisations et de bouches d'\'egout qui les connectent. Quel type de r\`egles pouvons-nous cr\'eer pour ce type de syst\`eme mod\'elis\'e par une s\'erie de segments de lignes droites et de n{\oe}uds ? (Un segment de ligne droite repr\'esente une canalisation, alors qu'un n{\oe}ud repr\'esente une bouche d'\'egout). Nous pouvons d\'efinir une direction de flux pour chaque bouche d'\'egout et imposer que la bouche d'\'egout \`a la fin d'un segment de ligne soit repr\'esent\'e par un n{\oe}ud ayant une \'el\'evation sup\'erieure \`a l'\'el\'evation du n{\oe}ud repr\'esentant la bouche d'\'egout situ\'ee \`a l'autre extr\'emit\'e du segment de ligne.

Nous pourrions \'egalement avoir une r\`egle qui indique que seuls les segments de lignes appartenant \`a une portion de canalisation peuvent se connecter \`a une plaque d'\'egout et que les segments de ligne repr\'esentant d'autres types de canalisation ne sont pas utilis\'es. Nous pourrions \'egalement pr\'eciser qu'une canalisation quittant une bouche d'\'egout doit \^etre au moins de la m\^eme taille ou plus large que la canalisation qui entre dans cette bouche d'\'egout. Tout ceci peut \^etre v\'erifi\'e en cr\'eant des r\'egles se basant sur la topologie de r\'eseau.

\section{Conclusion}

Dans cet article nous avons d\'efini la topologie de r\'eseau. Nous avons bri\`evement parl\'e des deux types principaux de topologie, la topologie d'inclusion et d'adjacence et la topologie de r\'eseau. Nous avons \'egalement rapidement examin\'e une application pratique de la topologie spatiale, un moyen d'assurer la qualit\'e des donn\'ees dans un SIG.

Dans la prochaine \'edition du Journal de l'OSGeo, nous examinerons comment on peut utiliser la suite open source Java Topology pour construire des g\'eom\'etries en deux dimensions utilis\'ees pour repr\'esenter des entit\'es et cr\'eer des contraintes sur ces g\'eom\'etries pour assurer la qualit\'e des donn\'ees.

\section{Bibliographie}
Les r\'ef\'erences suivantes ont \'et\'e sugg\'er\'ees pour appara\^itre dans cet article :
\vspace{0.2cm}

\noindent "Towards Usable Topological Operators at GIS User Interfaces" Catharina Reidmann\footnote{Reidmann on topology: 
\url{http://www.agile-secretariat.org/Conference/greece2004/papers/8-1-3_Riedemann.pdf}}

\vspace{0.2cm}

\noindent "Simple Features For OLE/COM" Open Geospatial Consortium Inc.\footnote{OGC SF for OLE/COM: 
\url{http://portal.opengeospatial.org/files/?artifact_id=830}}

\vspace{0.2cm}

\noindent "Point-Set Topological Spatial Relations" M. Egenhofer and R. Franzosa
International Journal of Geographic Information Systems


\address{Landon Blake\\
\email{sunburned.surveyor AT gmail.com}
}